См. в Учебнике Е. И. Литневской.
Тире нужно.
Орфографическим нормам соответствует первый вариант, однако в учредительных документах может быть закреплен и второй вариант.
Нет. В русском литературном языке на месте буквы г в окончании -ого- (-его-) произносится звук [в].
Раздельное написание возможно, если необходимо специально подчеркнуть отрицание (например, если это предложение — возражение кому-либо, кто утверждает, что выдача новых форм справок допустима). Если такого явного акцента на отрицании нет, корректно слитное написание: Выдача новых форм справок недопустима.
Корректно со строчной буквы.
Да, верно: фонд "Новые имена".
Названия такого типа (реальные собственные имена) заключаются в кавычки только в тех случаях, когда они употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы). Ср.: Московский городской педагогический университет и ГБОУ ВПО «Московский городской педагогический университет». Название Российский фонд прямых инвестиций пишется без кавычек, но если оно употребляется в сочетании с родовым словом, то кавычки нужны. См. подробнее: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).
