Да, теперь устоялось (и зафиксировано официальными документами) написание Донецкая Народная Республика и Луганская Народная Республика — аналогично названиям других республик.
Названия республик женского рода обычно склоняются в сочетании со словом республика: в Республике Болгарии. Но в официальных текстах нередко можно увидеть несклоняемый вариант.
В нормативных документах принято: в Республике Бурятия.
Верно: в Республике Ингушетия.
Корректно - без буквенного наращения: в 13 районах.
Устоявшегося (и нормативного, правильного) написания нет, предложенный Вами вариант оформления возможен.
Правильно: Республика Татарстан.
Правильно: Чеченская Республика. В официальных названиях государств, а также субъектов Российской Федерации слово республика пишется с большой буквы.
