Правильно: под подпись. О словах подпись и роспись см. в «Словаре трудностей».
Запятая нужна: в данном случае слово предположительно имеет значение 'вероятно, возможно, скорее всего', а значит, оно вводное.
Верны варианты: ознакомить под подпись, ознакомить под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.
Правильно: пол-Кавказа. Пол... (половина) присоединяется дефисом к слову, которое пишется с большой буквы.
Постановка или непостановка запятой зависит от смысла высказывания. Если речь идет о том, что точное определение — это именно научное определение, тогда запятая нужна. Если имеется в виду, что среди научных определений возможны как точные, так и неточные и нужно отсеять неточные и выбрать точное, тогда запятая не нужна.
Слово символ в любом случае грамматически остается неодушевленным, поэтому верно: символ посадили на диету.
См. в «Словаре трудностей».
Верно только: подпасть под обаяние.
