Корректно написание строчными буквами, обычно используются кавычки.

Запятая перед словами под названием не нужна.

Ударение остается на корне: из Керчи, к Керчи, в Керчи.

Дело в том, что по законам русской орфографии твердость/мягкость парного согласного перед гласным [э] в иноязычных словах не передается: е пишется и после твердых, и после мягких согласных, напр.: темп [т] – температура [т’], э пишется после твердых в ограниченном круге слов, напр.: блэкаут, мэр, нэцке, пленэр, пэр, рэкет, сэндвич, сэр, тхэквондо, фэнтези, фэншуй. 

О том, как осваиваются языком заимствованные слова и как это влияет на кодификацию, пишет член Орфографической комиссии РАН О. Е. Иванова в орфографическом комментарии к словарной фиксации кешбэк: «Иностранные слова входят в наш язык как чужие, со своими фонетическими особенностями, но постепенно, очень постепенно русский язык их осваивает, приучает к нашей «системе ценностей». На фонетическом уровне процесс освоения выражается, в частности, в смягчении изначально твердого согласного перед звуком [э]: ведь в нашей фонетической системе в русских словах перед звуком [э] произносится мягкий согласный и поэтому пишется буква е (белый, дело, мелкий), при этом существуют лишь единичные исключения из этого фонетического правила (к ним относятся названия букв бэ, вэ, гэ, дэ… и производные от них слова, например бэшки ʻученики класса Бʼ), в которых твердый согласный логично передается последующей гласной буквой э, а не е. <...> Лингвисты учитывают ход исторического процесса на материале многих однотипных слов, наблюдают изменения в их произношении условно ʻвчераʼ и ʻсегодняʼ и решают: в словаре следует дать такое написание, которое не помешает процессу обрусения, то есть в нашем случае это кеш – его можно произносить и [к]еш, и [кʼ]еш. В противном случае – если зафиксировать кэш, то закрепляется твёрдое произношение согласного в этом слове. И вообще, целесообразнее «склонять» слово присоединиться к правилу, а не к исключениям».

Предлагаем такой вариант: Джон Керри предостерег Анкару от любых действий, которые позволили бы усомниться в ее приверженности демократии и могли бы испортить отношения с союзниками по НАТО.

Возможны оба варианта в зависимости от значения, ср.: мое хобби – занятия аэробикой (т. е. систематические, целенаправленные, регулярные). Но: иду на занятие по аэробике (т. е. одно конкретное занятие).

Да, сочетание "коллеги по работе" ошибочно, хотя коллегами называют не только людей, работающих в одной организации, но и людей, имеющих общую профессию, общие профессиональные интересы и т. п.

Слова с частью бэк- пишутся через э. На орфографическом академическом ресурсе «АКАДЕМОС» представлено несколько сложных слов с частью бэк- именно в таком написании (бэк-вока́л, бэкгра́унд, бэк-ка́нтри, бэкхе́нд, кешбэ́к и др.). Слово кеш и сложные слова с этим корнем пишутся через е. Свойства звука в слове языка — источника заимствования не всегда определяют написание слова в русском языке.