Корректно: работа на компьютере.
Корректно: И. п. лицея кубеба, Р. п. лицеи кубеба, Д. п. лицее кубеба, в. п. лицею кубеба, Т. п. лицеей кубеба, П. п. о лицее кубеба.
В школе учат ставить точку, хотя по правилам правописания точка не требуется.
Слово кубок в значении 'награда' пишется строчными: команда выиграла кубок.
Правильно: работа ученика ГБОУ «Лицей № 1».
Правильно: работа будет спориться. Инфинитив (неопределенная форма глагола) пишется с мягким знаком. Ср.: Работа спорится – форма 3-го лица ед. числа пишется без мягкого знака.
Тире нужно (не имеет значения, в заголовке или в тексте эта фраза): Д'Артаньян – гвардеец кардинала.
Вариант работа в течение неполного рабочего дня предпочтителен.