В первых трех выражениях кавычки не нужны, хотя глагол завести заключить в кавычки можно, чтобы указать на стилистическую чуждость его контексту (глагол употреблен в разговорном значении).

Последний случай несколько сложнее. Если по контексту читателю будет понятно, в каком значении употреблено сочетание золотые перья, то кавычки не нужны. Если возникает двусмысленность, неясность, то лучше дополнить фразу, например, так: в редакции работали лауреаты конкурса «Золотое перо России».

Сочетание заключить проект некорректно. Заключить можно договор, соглашение, а проект — согласовать.

Первое слово в названии словаря должно начинаться с прописной буквы. Название словаря нужно заключить в кавычки. 

Правила здесь никакого нет. Аналогичный компонент измы уже оформился как самостоятельное слово, но раньше его писали (а иногда и сейчас пишут) в кавычках. Полагаем, что и онами лучше заключить в кавычки, убрав черточку.

Интуиция Вас не обманывает. Приложение отделяется одиночным тире, если относится к одному из однородных членов предложения.

Также возможен вариант, когда слова материнская компания ООО «В» заключаются в скобки.

Глагол можно заключить в кавычки, чтобы показать его стилистическую чужеродность контексту. Если такой необходимости нет, то кавычки не нужны: слово выкать не новое, оно фиксируется в словарях.

Это разговорное слово. В текстах книжных стилей его можно заключить в кавычки, чтобы подчеркнуть его стилистическое несоответствие контексту. В текстах нейтрального, публицистического, разговорного стиля заключать слово удаленка в кавычки не нужно. Оно уже стало нам привычным.

Название "Вектор" следует заключить в кавычки. Запятые расставлены верно.

Следует заключить в кавычки только слово петровские: Цикл выездных "петровских" уроков для школьников. 

Перед о них ниже следует поставить тире или точку. Еще один вариант – заключить эти слова в скобки.