Во всех случаях правильно класть.
Все сочетания возможны.
Формально главные члены предложения - "удивительное занятие" и "ловить". Но, поскольку это предложение имеет разговорный характер, такая "формальная" характеристика не может быть исчерпывающей.
Сам по себе корень употребляться не может; можно говорить о допустимости / недопустимости употребления слова с этим корнем. Глагол ложиться (форма повелительного наклонения этого глагола – ложись) входит в состав современного русского литературного языка, а вот глагол ложить – нет, т. е. употребление слова ложить в речи грамотного человека недопустимо.
См. ответ на вопрос № 258352.
Всегда верно: положить, класть.
Ложить – просторечие. В русском литературном языке есть только глагол класть.
Оба варианта правильны.