Нет. Рождество – только о празднике рождения Иисуса Христа, о празднике рождения Богородицы: Рождество Христово, Рождество Богородицы.
Называть "новорожденного" именинником - ошибочно.
Строчными: день рождения города.
Верно: мой день рождения.
Правильно: у нее день рождения.
Нормативно: у меня день рождения, у меня болит голова. Но в говорах (диалектах) есть и те грамматические конструкции, которые Вы описываете.
Слова день рождения пишутся строчными: На мой день рождения...
Запятая в сложносочиненном предложении перед союзом и не ставится, если его части выражены двумя вопросительными предложениями. Например: Где ты будешь отмечать день рождения и кто придет тебя поздравить?
Запятые не требуются. Подробности – в "Справочнике по пунктуации".
Воспользуйтесь "Проверкой слова": такое написание зафиксировано в орфографическом словаре.