Первая часть сложных слов мега... пишется слитно: мегазаведение, мегагений.
Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Например: неводить, неводник, неводный, неводок, неводчик, неводьба (см. окно «Искать на Грамоте»).
Да, в этом случае слово новый должно быть написано с маленькой буквы.
Ударение надает на второй слог: грехОм.
Запятые не нужны.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Склонять как Франция, Россия, хвоя.
