В предложении Я вышла из дома, светило солнце, и сновали птицы запятая перед союзом и нужна, так как он соединяет части сложносочиненного предложения. Заметим при этом, что более уместным решением было бы оформление высказывания в двух предложениях: Я вышла из дома. Светило солнце, и сновали птицы (в первой части глагол-сказуемое совершенного вида, в двух других — несовершенного, что указывает на более тесную связь этих двух последних друг с другом, нежели на их связь с первой частью). В предложении На улице светило солнце, шумел ветер и гуляли люди запятая перед союзом и не требуется, так как у всех частей есть общий элемент — обстоятельство на улице (и все глаголы-сказуемые несовершенного вида).

В последнем из приведенных предложений запятая перед союзом и нужна, потому что он соединяет части сложносочиненного предложения. Эти части не объединены каким-то общим элементом (обстоятельством, частицей и т. п.). Они неполные и имеют параллельную структуру, отчего в них и используется тире, сравним: Численность первого вида [составляет] 4 экз., [численность] второго [составляет] 3 экз., и [численность] третьего [составляет] 2 экз.

Пунктуация в интересующем Вас предложении зависит от смысла высказывания. Кроме предложенного Вами, возможен еще и такой вариант: Да, я многократный чемпион города по шашкам — тебя обыграю в два счёта!

Приведите, пожалуйста, предложение полностью, так как смысл высказывания не вполне ясен. 

Поскольку у этого высказывания возможна двоякая интерпретация, то по-разному (в зависимости от интерпретации) следует характеризовать и слово что.  

Это бессоюзное сложное предложение, вторая часть которого представляет собой присоединительное предложение, поэтому между частями нужно поставить тире. Добавим, что возможен и вариант с разделением высказывания на два предложения, например: Кто-то приближается сквозь туман... Ангел это или дьявол?

Нам представляется, что корректно употребление варианта цезаремания, так как в нем более прозрачна внутреняя форма. Носители языка в тех редких случаях, когда все же используют это слово, выбирают только соединительную гласную е, например: Просто у Триглава мания величия. В острой форме. Так сказать цезаремания; ...тоже мне цезаремания; Как раз цезаремания присуща выскочкам "из грязи в князи" и т. п. 

Если мы верно поняли смысл высказывания, то правильная пунктуация такова: Мы здесь, каждый — чей-то род.  

Здесь внимание — нечленимое предложение (слово-предложение), которое служит для выражения требования или просьбы о внимании. Нечленимое предложение (слово-предложение) образует отдельную грамматическую основу. Соответственно, перед нами сложное предложение. Добавим, что возможен и другой вариант оформления высказывания: Внимание! На тебя идет человек подполья! 

Чтобы ответить на ваш вопрос, требуется полноценная лингвистическая экспертиза. 

Теоретически постановка тире в таких случаях возможна, но пропуск слов не должен приводить к невнятности высказывания.