Форма мужского рода (заведующий) по отношению к женщине используется в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу лица (обычно в строгой официально-деловой речи). В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода.

В значении 'движение против фастфуда' слово зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Название организации нужно писать в соответствии с тем, как оно закреплено в уставе: «Слоу Фуд (Еда без спешки) в России» или «Слоу Фуд в России». Жаль, что в названии написание не соответствует рекомендации словаря.

Здесь возможны варианты: в день открытых дверей и на дне открытых дверей. Второй вариант предпочтителен, поскольку здесь слово день употреблено, скорее, в значении "мероприятие", чем в значении "дата". Ср. слово вечер в том же значении: ждем вас на вечере поэзии, а не в вечер поэзии.

Мама права. Вот что написано в «Словаре русского речевого этикета» А. Г. Балакая: Употребление местоимения он, она по отношению к собеседникам, без предварительного называния их по имени (имени-отчеству) считается невежливым: говорящий как бы исключает собеседника из общения, демонстрируя тем самым неуважительное к нему отношение.

Мы упомянули только об одном случае потому, что он имеет отношение к приведённому Вами в вопросе примеру. Если говорить о русской пунктуации в целом, то, действительно, постановка запятой после слова однако в начале предложения может быть обусловлена более чем одной причиной. Спасибо за уточнение!

Написание слова одиссея со строчной буквы в значении 'странствие с приключениями' закреплено орфографическими словарями однозначно, то же в толковых словарях (см., например, ресурс «Проверка слова»). Правилами орфографии написание названий произведений, ставших нарицательными, не регламентируется. Чтобы сформулировать правило (если в нем возникает потребность), необходимо изучать материал.

Форма мужского рода (управляющий) по отношению к женщине используется в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу лица (обычно в строгой официально-деловой речи). В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода. 

Если это независимое восклицательное предложение, в нем пишется частица не: Какие только эксперименты не ставят над смартфонами! (значение: ставят разные эксперименты). Ср. употребление частицы ни в придаточном предложении: Какие бы эксперименты я ни ставил над своим смартфоном, я так и не смог его сломать.

Фраза эта обычно приводится с запятой: слова всяк сюда входящий обособляются как обращение (к тем, кто входит во врата ада). Но можно обосновать и отсутствие запятой: запятую допустимо не ставить, если считать, что в этой фразе заложено значение пожелания (пусть оставит надежду всяк сюда входящий).