В приведенном Вами примере запятая перед прошу не ставится. Но знак понадобится, если перед прошу окажется конструкция, которую нужно будет выделить запятыми. Например: Уважаемый Иван Иванович! В связи с тем, что требуется уточнение информации, прошу Вас направить в наш адрес необходимые сведения.

В данном контексте слова "будет необходимо" и "необходимо будет" могут считаться взаимозаменяемыми, оба варианта верны и зависят от стиля и ритма предложения. Что касается обособления оборота "в случае", запятая после слов "согласования" не требуется. 

Обстоятельство в отдельной палате, примыкающее к сказуемому провела, ослабляет связь между этим сказуемым и сравнительным оборотом как в санатории, поэтому запятая перед ним требуется: Следующие дни я провела в отдельной палате, как в санатории. Но: Следующие дни я провела как в санатории.

Выражение по крайней мере употреблено в предложении в качестве вводного, обособление требуется: Коллеги, даже после его прочтения вам всё равно будет сложно работать при поступлении большого количества клиентов, но, по крайней мере, вы будете знать, какие проблемы вам предстоит решать в ближайшие часы.

Обстоятельство цели хоть былок каких да набрать, находящееся в середине предложения, образует присоединительную конструкцию, выделяемую запятыми. Запятая перед тире не требуется: Чуть свободная минута, Наталья бежала с косой, хоть былок каких да набрать, или налыгач на рога — и вела Беляну в займище.

Этикетные формулы (Здравствуйте, Привет, Всего доброго, До скорого и т. д.) чаще всего образуют отдельное нечленимое предложение: Давай! Я пошёл заниматься своими делами. Если требуется передать торопливую речь с едва заметными паузами между высказываниями, уместна запятая: Давай, я пошёл заниматься своими делами.

В сложносочиненном предложении с одиночным союзом и запятая не ставится, если части сложносочиненного предложения имеют общую, поясняемую ими, часть сложного предложения (см. полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, раздел «Знаки препинания в сложносочиненном предложении»).

Указанная запятая не требуется.

Говоря о слитном/раздельном написании, важно помнить вот еще о чем. Если автор текста хочет подчеркнуть отрицание, он вправе написать не отдельно. В примере из вопроса № 216053 раздельное написание не ошибочно, если требуется подчеркнуть отрицание. Но по основному правилу корректно слитное написание. Ответ дополнен.

Деепричастный оборот не обособляется, если выступает в качестве однородного члена предложения с необособленным обстоятельством. Однако в Вашем случае обстоятельство в связи с вышеизложенным может обособляться. Кроме того, запятая требуется для смыслового выделения достаточно длинного деепричастного оборота. Поэтому мы рекомендуем поставить запятую после слова дисциплины.

Не обособляются распространенные определения, стоящие после существительного, если последнее само по себе в данном предложении не выражает нужного смысла и нуждается в определении.

Таким образом, первая запятая не требуется: Будучи человеком наделенным кое-какими способностями, я по совету академика стал записывать мысли, приходящие мне в голову.