Запятая в обоих случаях нужна. Расхождение в ответах могло быть связано с недостаточно четким описанием подобных пунктуационных ситуаций в правилах. Однако руководствоваться следует такой рекомендацией: пояснительные члены предложения (в том числе определения), вводимые союзами или, то есть, следует обособлять. Ср. с таким примером Д. Э. Розенталя: Отметим два вида возбуждающей, или входной, функции. Ответы на вопросы № 292575, 290853 уточнены.
У глагола провести среди прочих значений есть следующие: "оформить, соблюдая все необходимые правила" (Провести счет через бухгалтерию. Провести сотрудника по штату. Провести приказом по институту) и "осуществить, произвести, выполнить какие-либо действия, работу" (Провести репетицию. Провести заседание. Хорошо провести урок. Провести соревнования. Провести уборку урожая).
Таким образом, сочетание провести платеж может употребляться в обоих смыслах, о которых Вы пишете.
Ошибки в обоих случаях нет, однако...
Односоставное предложение имеет только один из главных членов. Главный член в нем независим, поэтому некорректным было бы характеризовать главный член любого односоставного предложения в терминах двусоставного — как сказуемое или подлежащее. Однако в школьной практике (в ряде учебников) сохраняется традиционная классификация односоставных предложений: с главным членом — сказуемым и с главным членом — подлежащим.
Полагаем, что принадлежность обоих высказываний, соединенных союзом и, к формулам вежливости — достаточное условие для того, чтобы не ставить запятую, тем более что в конце таких формул ставится восклицательный знак, показывающий, что у высказываний еще и общая восклицательная интонация: До свидания и всего вам доброго!; Извините за беспокойство и всего вам доброго!; Всего вам доброго и будьте здоровы!
В приведенном Вами контексте прилагательное герметичные может быть понято и как относящееся только к слову пакеты, и как относящееся к обоим словам сочетания пакеты либо мешки. Фраза в скобках (невозможность проникновения кислорода воздуха и предотвращение окисления продукта в процессе хранения) грамматически не согласована ни с одной частью высказывания, поэтому понять, к чему она относится, решительно невозможно.
Приведенные предложения относятся к одному и тому же типу: это сложносочиненные предложения с союзом и. Соответственно, запятая нужна в том и в другом — по формальному принципу. Впрочем, предложение, в обоих частях которого описываются погодные явления, выглядит неестественно без общего для этих частей обстоятельства, отменяющего постановку запятой, сравним: К вечеру пошёл (сильный) дождь и поднялся (холодный) ветер.
Предлог — сказуемое, производный — определение. Устойчивые сочетания равны одному слову, воспроизводятся в речи как цельные единицы и при синтаксическом разборе выделяются как один член предложения. К таким сочетаниям относятся, например, фразеологизмы — воспроизводимые сочетания слов, у которых лексическая самостоятельность одного или обоих компонентов ослаблена или утрачена. В нашем случае слово производный просто определяет тип предлога.
Сочетание нужен как воздух является фразеологизмом. По общему правилу фразеологизмы не обособляются.
Однако еще Д. Э. Розенталь отмечал: «Запятая в этих случаях [при фразеологизмах] обычно отсутствует, если сравнительный оборот выступает в роли сказуемого. Когда же речь идет именно о сравнительном обороте, то в одинаковых условиях запятая может быть, а может и не быть». И еще: «Вопрос о пунктуации при сравнительных оборотах, в частности при сравнениях идиоматического характера [фразеологизмах], не может решаться в отрыве от характера самих оборотов (сравнения общеязыкового типа или художественные сравнения, иногда индивидуально-авторские), состава устойчивых сочетаний, как он представлен в толковых и фразеологических словарях, и т. д.».
Вот несколько примеров, которые приводит Д. Э. Розенталь: В третьем батальоне прямое попадание в окоп. Сразу одиннадцать человек как корова языком слизала (Сим.). — …Во дворах, под сараем всё чисто, как корова языком слизала (Сер.); Тогда вдвоём с тобой мы разыграли бы жизнь как по нотам (М.Г.). — План, выработанный командиром… был в тот день разыгран, как по нотам (Пол.)
Другой специалист по пунктуации – Н. С. Валгина – допускает обособление фразеологизмов «если имеются некоторые отклонения в употреблении устойчивых оборотов (порядок слов, подмена слов в устойчивых словосочетаниях и др.)». Вот ее примеры: А на мосту, как черт, черный взметнулся плащ (Цвет.). — ср.: черный как черт.
В предложении Песня в дороге мне словно воздух нужна некоторые отклонения в употреблении фразеологизма имеются: как заменено на словно, порядок слов нарушен. Значит, обособление фразеологического оборота возможно.
Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. В противном случае употребляется форма множественного числа. В рассматриваемом контексте ясно, что слово наступающим относится к обоим праздникам, поэтому уместна форма единственного числа: с наступающим Новым годом и Рождеством Христовым!
Сочетание большой друг корректно, оно употребляется в русском языке, например: Это Борис Андреевич, мой большой, большой друг. И. Ефремов, Бухта радужных струй. Мой большой друг – английский посол в Неаполе лорд Гамильтон – попечительствует обо мне. Э. Радзинский, Княжна Тараканова. Однако характерно это сочетание скорее для книжной речи и публицистических текстов (ср. устойчивое выражение советской эпохи: большой друг Советского Союза), нежели для разговорной речи.
