В названиях музеев с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Музей кукол, Государственный Русский музей, Государственный музей изобразительных искусств им. А. С. Пушкина.

Правильно: святая инквизиция.

Очень интересный вопрос! Здесь название социальной сети (оно пишется с прописной буквы и в кавычках, в разговорной речи допустимо со строчной и без кавычек) употреблено в обобщенном значении 'социальные сети'. Такое употребление не регламентировано правилами орфографии, хотя можно провести параллель с подобным переносом имени (фамилии) человека: Хлестаковы, Митрофанушки, Ломоносовы. Имена людей в таких случаях писать со строчной буквы не рекомендуется. Но в Вашем предложении написание с прописной и в кавычках может внести неясность. Чтобы читатель правильно воспринял обобщенный смысл нужно написать название социальной сети со строчной буквы и без кавычек.

Здесь верно: ограниченны.

Словарной фиксации нет. Корректно написание с ё, как в словах живорождённый, законнорождённый, перворождённый.

В Большой советской энциклопедии: шеволежеры.

У слова калибр сложный путь заимствования. В этимологиическом словаре Макса Фасмера отмечено: «Через польск. kaliber или нем., голл. kaliber, франц. calibre (с 1478 г.) из ит. calibro, араб. kâlib от греч. καλοπόδιον "форма, образец"».

В современных морфемных и словообразовательных словарях *калиберный рассматривается как вторая часть сложных прилагательных (однокалиберный, крупнокалиберный, мелкокалиберные и т. п.). Однако ещё в «Словаре русского языка XVIII  века» калиберный — самостоятельное нормативное прилагательное, как и производящее существительное калибер.

Достаточно долго существовали вариативные формы калибр и калибер, хотя уже в словаре под редакцией Д. Н. Ушакова (1930-е) калибер имеет пометы 'простореч.' и 'устар'.

Оба варианта корня продолжают использоваться в словообразовании (ср.: калибровка, крупнокалиберный). 

Вставка гласной перед суффиксом -н- поддерживается общей морфонологической тенденцией: русский язык стремится избегать чрезмерного стечения согласных. В данном случае мы не можем говорить о 'беглой гласной' в традиционном понимании этого термина (как в исконных словах, где беглость гласной возникает в позициях исчезнувших редуцированных), но понятие "вариативность корня" в этом случае вполне применимо.

Прописная буква в этих титулах не нужна.