Верно без запятой и кавычек: Татьяна думала о корне проблемы, которая для ее родственников заключалась в одном слове — сосед.

При оборотах указанного типа, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с» сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа.

Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает все сочетание, т. е. действие приписывается двум взаимосвязанным равноправным субъектам, например: После обеда Лось с Русаковым пошли посмотреть склады и магазины (Т. Семушкин); Встали и Воропаев с Корытовым (П. Павленко).

Форма единственного числа сказуемого показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия, например: Граф Илья Андреевич в конце января с Наташей и Соней приехал в Москву (Л. Толстой); ...Пришел Разметнов с Демкой Ушаковым (Шолохов).

Выбор одной из двух возможных форм согласования сказуемого зависит от смысловой соотнесенности действия и его производителя. Иногда на решение этого вопроса влияет лексическое значение слов, входящих в сочетание, например: Мать с ребенком пошла в амбулаторию; Старший брат с сестренкой уехал в деревню. Ср.: И графиня со своими девушками пошла за ширмами оканчивать свой туалет (Пушкин).

В других случаях играет роль лексическое значение сказуемого, например: Мать с дочерью долго не могли успокоиться и вспоминали случившееся (оба действия могут производиться при равноправном участии субъектов действия); Коля с Петей поступили в одну и ту же школу; Брат с сестрой возвратились порознь. Ср.: Клычков с Чапаевым разъехались по флангам... (Фурманов).

Иногда играет роль порядок слов в сочетании. Ср.: Муж с женой пошли в театр. – Жена с мужем пошла в театр (обычно в рассматриваемых конструкциях при различной родовой принадлежности существительных на первом месте фигурирует более сильный в грамматическом отношении мужской род, например: отец с матерью, дед с бабкой, мальчик с девочкой; поэтому выдвижение на первое место существительного в форме женского рода подчеркивает его роль, а отсюда согласование с ним сказуемого).

Написание с тире корректно.

Названия, написанные латиницей, обычно в кавычки не заключаются: телекомпания Al Jazeera; Al Jazeera является ближневосточным телеканалом.

ИЗВИНИТЬ, -ню, -нишь; извинённый; -нён, -нена, -нено; св. кого-что.
1. (за что, также с придат. дополнит.).
Проявить снисходительность, не поставить в вину чего-л.; простить. Прошу извинить за беспокойство, за навязчивость, за опоздание, за грубость. И. друга, брата. И. чью-л. глупость, чьё-л. невежество. Извините, что заставил вас подождать. Извиним ребёнку его любопытство. Извините за выражение (разг.;
употребляется при введении в разговор резких, грубых слов).
2. чем.
Признать заслуживающим снисхождения в силу чего-л.; оправдать. И. опоздание болезнью, рассеянностью, бессонницей. Взятку нельзя и. бедностью. < Извинять, -яю, -яешь; извиняющий; нсв. Извиняться, -яется; страд. Извини; извините, в зн. межд. Разг.
Выражает протест, несогласие с чем-л., отказ в чём-л. Сходишь в магазин? - Нет уж, извини! У него высшее образование. - Извините! Это не так.

Оба варианта верны.

Союз и соединяет однородные придаточные части, и запятая перед ним не нужна.

Да. Предлоги не могут выступать как самостоятельные члены предложения, однако они употребляются в составе предложно-падежной группы, совместно с формой падежа выражая определенное значение. Поэтому предлог принято подчеркивать вместе с существительным, к которому он относится. При этом необходимо обратить внимание на случаи, когда предлог и существительное разделены прилагательными или причастиями, например: вместо старшего брата. В этом случае ошибкой будет подчеркивание предлога вместе с прилагательным как определения; подчеркивание должно быть следующим: вместо старшего брата.

Оба варианта употребительны.