В современном языке это слова с разными корнями.
Когда говорят, что сделать что-либо надо не позднее чем за десять дней до праздника, это означает, что самое позднее за 10 дней до праздника уже всё должно быть готово. Раньше (за 11, за 12, за 13... дней до праздника) можно, позже (за 9, за 8, за 7... дней до праздника) уже нельзя.
Верное написание: подынститут.
Верно: по 1/6 доле квартиры (= по одной шестой части квартиры). См. также ответ на вопрос № 273207.
Слово каприччо (каприччио) пишется в кавычках, если выступает в роли условного наименования.
Верно:
1. После того как он попросил прощения, всё стало налаживаться.
2. История эта началась после того, как в село приехал новый учитель.
Подробно о пунктуации в конструкциях с составными подчинительными союзами читайте в "Справочнике по пунктуации".
Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.
Ударение падает на последний слог: ГЛОНАСС.
В "Словаре имен собственных" Ф. Л. Агеенко это слово зафиксировано как существительное женского рода (по родовому слову - система; ГЛОНАСС - Глобальная навигационная спутниковая система). Корректно: российская ГЛОНАСС, как и американская GPS, предназначена для определения местоположения наземных, морских и воздушных объектов.
Аббревиатура ГЛОНАСС несклоняемая.
См. ответ на вопрос № 176838.
Непонятные - прилагательное. Верно слитное написание (наличие зависимых слов не влияет на написание).
