В приведенных Вами вопросах речь идет о похожих, но все же разных ситуациях. 

1. Предложения со схемой А: «П?», где прямая речь — вопросительное предложение. Приведем примеры.  

Смотрю вслед ему и думаю:«Зачем живут такие люди?»

Только один раз мы встречаемся с Лукьян Лукьянычем (я ещё его не знал тогда), он и говорит: «За кем вы здесь волочитесь?»

2. Предложение имеет ту же схему А: «П?», но прямая речь, представляющая собой вопросительное предложение, содержит название, заканчивающееся вопросительным знаком.

Он меня спросил: «Ты читал роман "Что делать?"»

Если бы название было включено в прямую речь — повествовательное предложение, то точка бы стояла. 

Он сказал мне: «Я не читал роман "Что делать?"».

Нормативные словари русского языка всё же довольно четко разводят: надевать что-либо – одевать кого-либо. Правильно: я сегодня надел кепку.

Корректность двух последних из приведенных Вами примеров (бессоюзного сложного и сложноподчиненного предложений) не вызывает сомнений. Что касается возможности употребления сочетания становится ясно в роли вводного, то она сомнительна. Важным формальным свойством вводных конструкций является отсутствие грамматической  связи с каким-либо членами или частями предложения, из чего следует ещё одно свойство — способность занимать в предложении любую позицию: начальную, срединную, конечную. Сочетание становится ясно едва ли возможно «передвигать» из начальной позиции в какую-то другую, сравним: ^?Чрезмерное потребление, становится ясно, духовно обедняет человека; ^?Чрезмерное потребление духовно обедняет человека, становится ясно. При этом, конечно, ничто не мешает выделить эту конструкцию в срединной позиции как вставку (такое возможно с любой частью предложения): Чрезмерное потребление — становится ясно — духовно обедняет человека.

ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, частица и союз

1. Частица (часто в сочетании с противительными союзами «а», «но», а также в предложениях с союзами «хотя», «несмотря на то что», «пусть» и др.). Не требует постановки знаков препинания. 

Мюллер долго наблюдал за тем, как медленно, еле заметно, но тем не менее неуклонно лучи двигались по комнате.Ю. Семенов, Экспансия-I. Несмотря на то, что Ягозин был кровным детищем Петербурга… он весь тем не менеесостоял из одной быстроты и юркости. Д. Григорович, Карьерист.

2. Союз (между частями сложносочиненного предложения). То же, что «но, однако». 

…Это были все-таки карты, несколько захватанные, затертые пальцами по краям, тем не менее невозможно было представить, что в них играли за столом... Ю. Бондарев, Горячий снег.

Мы тоже такого правила не обнаружили. Запятая после видимо нужна.

Возможны оба варианта написания, окончательное решение принимает автор текста.

Фамилию Бугаря следует склонять. Однако не склоняют, например, французские имена и фамилии с ударным А или Я (Николя, Дюма и др.).

Вы оформили прямую речь правильно. См. примечание 2 к параграфу 148 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

Глаз "цепляется" за местоимение его (картина - сущ. женского рода; дар - сущ. мужского рода). Но больше придраться не к чему.

Союз в случае если при присоединении придаточной части к главной может расчленяться и не расчленяться. Об этом подробно написано в «Справочнике по пунктуации». В правилах не описывается ситуация, при которой придаточная часть с составным союзом заключается в скобки. На наш взгляд, расчленение союза в этом случае нежелательно, так как заключенная в скобки часть должна читаться с особой интонацией вставной конструкции – с понижением тона и в более быстром темпе. Запятая между частями союза требует паузы при чтении и постановки логического ударения на первой части союза. Совмещать эти интонационные рисунки сложно и не нужно.