Названия учреждений следует писать с маленькой буквы во всех перечисленных случаях. Варианты во второй школе, в тридцатой поликлинике встречаются в разговорной речи.
Падежи правильные, а порядок слов - нет.
См. «Горячую десятку вопросов».
Правильно: Настина кофта.
Вы написали правильно.
Написание с двумя прописными буквами Червонная Королева появилось под влиянием английского источника (Queen of Hearts). О проблемах написания приведенных Вами типов названий подробно рассказано в статье «Прописные и строчные буквы в собственных именах людей, прозвищах, псевдонимах, кличках: из академических правил русской орфографии» Е. В. Арутюновой, Е. В. Бешенковой, О. Е. Ивановой.
Верно: клематис Виль де Лион.
Сочетание пишется с маленькой буквы: органы внутренних дел.
Верно написание с большой буквы.
