В параграфе 53 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина указано, что если определяемое слово (нарицательное существительное) уже имеет впереди стоящие согласованные определения, то несогласованные определения, выраженные существительными в форме косвенных падежей с предлогами, обособляются: маленькая монетка, размером с ноготь... Кроме того, в этом сочетании несогласованное определение уточняет согласованное.

«Большая российская энциклопедия» — издание, которое создается под эгидой Российской академии наук, то есть авторитет его достаточно высок.

1. Правила таковы. Слова королевство, республика, государство  и др. пишутся с большой буквы в официальных названиях современных государств, например: Королевство Испания, Соединенное Королевство; Федеративная Республика Германия, Литовская Республика; Государство Израиль, Государство Катар. В исторических названиях государств слова королевство, республика, государство, империя, держава и др. пишутся с маленькой буквы, а с большой буквы пишутся собственные названия, например: Французское королевство, Сицилийское королевство; Новгородская республика, Венецианская республика; Восточно-Франкское государство, государство Чжоу; Российская империя, Британская империя, империя Цинь; Великоморавская держава.

Таким образом, орфографически верным будет написание Франкское государство, Франкская империя, империя франков, государство франков (оба слова со строчной, т. к. нет имени собственного), империя Каролингов, империя Карла Великого, держава Карла Великого и т. п.

2. На этот вопрос мы попросили ответить одного из авторов словаря – В. В. Лопатина. Написание со строчной таких слов, как гитлерюгенд и ку-клукс-клан (хотя это, действительно, индивидуальные названия организаций, движений), обусловлено исключительно многолетней традицией. Традицией, в формировании которой немалую роль сыграла и определенная идеологическая подоплека: гитлерюгенд – нацистская, вражеская организация, ку-клукс-клан – организация, проповедующая враждебную нам расистскую идеологию. Иными словами, сложилась традиция написания этих слов со строчной как обозначающих чуждые понятия.

Снег имеется в виду падающий? Тогда: сильный снегопад. О слое лежащего снега: глубокий снег.

В этом предложении указанный оборот является присоединительным, и именно поэтому он отделяется с помощью запятой или тире: Я его большая поклонница, (причём) как человека и как артиста; Я его большая поклонница — как человека и как артиста. Сравним предложение, в котором два оборота с союзом как в значении «в качестве» противопоставлены друг другу, что делает их смысловым центром высказывания: Я его большая поклонница как человека, но не как артиста.

Если имеется в виду 'очень малый по количеству, числу ', то корректно: считанный (считанные секунды, считанные часы). Значительный – большой по размерам, численности, силе.

Пунктуационно верно: В связи с апгрейтом системных блоков у диспетчеров, просим Вас выслать нам новые коды активации и разблокировки для программы.

Причастный оборот и придаточная часть соотнесены со словом кустарник. При устранении сочетания или крупный кустарник предложение станет грамматически аномальным: *Боярышник — это небольшое деревце, часто встречающийся в садах...