Это корень или "квазиприставка" - первая часть сложного слова.
Кавычки уместны.
Мягкий знак сочетает обе функции в этих словах.
Оба варианта верны.
Слово онлайн может употребляться как склоняемое существительное.
Правила нет, это словарный материал. Какие-то слова закрепились в единственной форме с двух- или дву-, какие-то живут в вариантах. Проверить конкретное слово можно с помощью словарей нашего портала.
О фонетическом фактрое выбора части двух- или дву- писал Д. Э. Розенталь. О других закономерностях можно прочитать в книге Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» (к сожалению, в свободном доступе в интернете этой книги нет). Некоторые закономерности описаны в ответе на вопрос № 172716.
Оба ударения правильны, но предпочтительно в современном русском языке: казако́в.
