Кавычки не нужны.
Предпочтительно слитное написание.
Постановка тире не требуется.
Правильно: Чем обязан?
Да, слитное написание корректно.
Выражение на ять (сделать что-либо) означает «сделать на отлично», его происхождение связано с тем, что раньше самой большой трудностью для изучавших русский язык было научиться правильно писать буквы Е и «ять» (когда-то эта буква обозначала особый звук, но позже этот звук совпал с Е, а буква «ять» оставалась на письме, и бедным ученикам приходилось учить наизусть все слова, где был «ять»). О том, кто легко справлялся с этой премудростью, говорили, что он все делает «на ять». А сегодня это выражение перекликается с оборотом «сделать на пять», т. е. на пятерку.
Написание, действительно, зависит от контекста. Выберите - повелительное наклонение глагола; выберете - изъявительное наклонение.
