При образовании слов, начинающихся с и, при помощи приставок иноязычного происхождения гипер-, дез-, интер-, контр-, пост-, суб-, супер-, транс- буква и на ы не заменяется, напр.: гиперинфляция, дезинформация, дезинтеграция, контригра, постимпрессионизм, постинфарктный, субинспектор. Поэтому правильно: субинститут.

Лучше всего - просто попросить ребенка запомнить это слово.

Это часть корня.

Морфемный разбор слова покажем: по- — приставка; -каж- — корень; -ем — окончание.

Членение при морфемном разборе (при определении состава слова) может отличаться от словообразовательного разбора. При синхроническом словообразовательном разборе, основанном на смысловых связях между производящим и производным словами (концепция А. Н. Тихонова), граница между приставкой и корнем считается утраченной.

Написание буквы з в слове низвергнутый (а также в родственных словах с начальной частью низверг(ж), например: низвергать, низвергнуть, низвержение) подчиняется правилу о приставках на з/с. Приставка выделяется при сравнении со словами свергнуть, отвергать, повергнуть. В орфографии принят более этимологичный подход к членению слова на морфемы, чем в морфемике. Этим часто объясняются расхождения в морфемном членении слова в разных источниках.

В школе безударные гласные на конце глагольной основы перед -ть проверять не учат. Правила их проверки сформулированы были относительно недавно, и они достаточно сложные для применения. В школе сложилась методическая традиция обходиться без правила. Дети благодаря языковой интуиции чувствуют, какую гласную нужно писать перед -ть, и ошибки здесь возникают редко. Слов, в которых ошибки встречаются, немного.

Если мы не помним точно, какая гласная пишется в инфинитиве, то ее нужно проверить по словарю. При этом некоторые простые правила о гласных перед -ть запомнить можно. 

1. В инфинитиве после гласной о пишется -ить, например: стоить, строить, удостоить, присвоить. 

2. В инфинитиве после гласных а, е, у пишется -ять, например: лелеять, маяться. Исключения: драить, клеить.  

Слов, относящихся ко второму правилу, немного, поэтому некоторым удобнее запоминать не правило, а сложные глаголы: 

1) баять, веять, лаять, реять, сеять, таять, хаять (сниж.), чаять, чуять, блеять, лелеять, затеять, маяться, каяться, надеяться,

2) драить, клеить, 

3) кашлять.

Заучивая глаголы, важно помнить, что при присоединении приставки или постфикса гласная перед -ть не меняется: клеить — заклеить, клеиться.

3. Особую группу составляют глаголы с приставками обез-(обес-). Нужно научиться различать слова по значению: обессилить (лишить кого-то сил) — обессилеть (лишиться сил), обезводить (лишить воды) — обезводеть (лишиться воды).

Верно: недописать, -ишу, -ишет (написать не полностью, меньше нужного). Но: не дописать, а дорисовать.

В перечисленных Вами вопросах речь идет о словах, еще не кодифицированных в нормативных словарях, поэтому дефисное написание отмечено там как одно из возможных. Причины такой возможности описаны в ответе на вопрос 316375. 

Слова перекрасачки не существует. Однако предложенной формуле соответствует вполне реальное слово перекраски.