Да, сейчас слово памперс употребляется в обиходной речи как нарицательное существительное в значении 'гигиеническая многослойная прокладка в виде трусов для маленьких детей или для больных с нарушенной мочеиспускательной функцией'. Памперсами в живой разговорной речи (но не в ситуации официального употребления) можно называть любые подгузники, не обязательно марки Pampers (так же как ксероксом называют любой копировальный аппарат, не обязательно произведенный фирмой Xerox).

Названия лекарств и медицинских препаратов оформляются на письме так: при употреблении в качестве торговой марки названия лекарственных средств следует писать с прописной буквы в кавычках: «Гриппферон», «Фервекс», а в бытовом употреблении – со строчной буквы без кавычек, например: выпить цитрамон, таблетка парацетамола. Также пишутся со строчной буквы без кавычек некоторые названия лекарств, вошедшие в широкий обиход вследствие многолетнего употребления (валидол, анальгин, аспирин).

Слово парковка образовано следующим образом:

парк (непроизводное, зн. ‘место стоянки и ремонта транспортных средств’) → парк-ова-ть (суффикс -ова-, зн. ‘помещать кого- или что-л. в (на) то, что названо производящим существительным’) → парк-ов-к-а (суффикс -к-, зн. ‘существительное, характеризующееся действием, названным производящим глаголом’; словообразовательный процесс сопровождается усечением производящей глагольной основы), ср.: стык → стык-ова-ть → стык-ов-к-а.

Такие названия, осваиваясь в русском языке, приобретают написание строчными без кавычек, т. е. пишутся как обычные нарицательные существительные: пармезан, моцарелла, страчателла, мортаделла, прошутто и т. д. Прописные буквы и кавычки потребуются, если название используется как торговая марка. Ср. закрепленное в правилах разграничение: колбаса «Докторская», сыр «Пошехонский» (торговые названия) и купили немного докторской колбасы и пошехонского сыра (передача на письме бытового употребления).

Корректно: И теперь, пожимаясь от холода, студент думал о том, что точно такой же ветер дул и при Рюрике, и при Иоанне Грозном, и при Петре и что при них была точно такая же лютая бедность, голод, такие же дырявые соломенные крыши, невежество, тоска, такая же пустыня, кругом мрак, чувство гнета — все эти ужасы были, есть и будут, и оттого, что пройдет еще тысяча лет, жизнь не станет лучше.

Названия лекарств и медицинских препаратов оформляются на письме так: при употреблении в качестве торговой марки названия лекарственных средств следует писать с прописной буквы в кавычках: «Агри», «Инфлювак», «Афлубин», «Фервекс»,  а в бытовом употреблении – со строчной буквы без кавычек, например: выпить фервекс, принять виагру. Также пишутся со строчной буквы без кавычек некоторые названия лекарств, вошедшие в широкий обиход вследствие многолетнего употребления (валидол, анальгин, аспирин).

В приведенном Вами примере предпочтительно писать с прописной в кавычках (всё-таки это не ситуация бытового употребления).

Кавычки не нужны.