Корректно с двумя Н, поскольку это краткое прилагательное (нет указания на субъект действия).
Вредно — краткое прилагательное. Ср.: Дождь вреден для посевов; Книга вредна для подростков.
Корректно: недопустимы. Краткое прилагательное пишется слитно (так же, как и полное), если нет противопоставления.
В полном варианте: Продам шубу, бывшую в употреблении. В кратком: Продам шубу б/у.
Обстоятельством, если это наречие (оживлённо жестикулировать); сказуемым, если это краткое прилагательное (движение на дорогах оживлённо).
Правильно: количество мест ограниченно. Здесь ограниченно – краткое прилагательное, пишется с двумя Н. См. словарную фиксацию.
Если это слово употреблено как краткое причастие, то в нем должна быть одна буква н.
Правильно: Возможности строительства весьма ограниченны. Здесь ограниченны краткое прилагательное, на что указывает сочетаемость со словом весьма.