Области, края, округа – административно-территориальные единицы. Республики же в составе России – это национально-государственные образования (т. е. своего рода государства в государстве). Например, согласно Конституции России, республики вправе устанавливать свои государственные языки. Поэтому слова республика в составе названия республики пишется с большой буквы – на основании правила о написании с большой буквы всех слов в официальных названиях государств.

Конфетти – несклоняемое существительное среднего рода. Возможно согласование в единственном и множественном числе, ср.: Временами он бросал вниз, в автомобильную реку, какие-то пакетики-хлопушки, которые взрывались в воздухе, опадая агитационным конфетти. В. Аксёнов, Остров Крым. Лилась музыка, летали пестрые конфетти, качались воздушные шары, вокруг скользили девушки-цветы и девушки-звезды, кружились украинцы, черкесы, кудесники. Г. Николаева, Битва в пути.

Запятая не нужна. Запятая в подобного рода конструкциях, состоящих из глагола быть, найти, остаться, вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда и др.) и неопределенной формы другого глагола, не ставится, ср.: будет о чем поговорить, есть на что посмотреть, есть к чему стремиться, не нашла что сказать, осталось на что жить и т. д.

Действительно, в толковых словарях современного русского языка, в том числе в словарях новых слов, не представлены выражения цифра не бьется, цифры не бьются. С опорой на цитаты из публицистических текстов конца ХХ века можно небезосновательно предполагать, что речь идет об оборотах из профессионального языка бухгалтеров и тех, кто работает с разного рода статистическими данными.

Общее правило, по которому запятая в сложносочиненном предложении ставится перед союзом и во всех случаях, кроме особо оговоренных, содержится и в «Правилах русской орфографии и пунктуации» 1956 года (§ 137), и в справочнике Розенталя (§ 104), и в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина (§ 112).

Слово республика пишется с большой буквы, если оно входит в состав официальных названий государств: Китайская Народная Республика. В исторических названиях это слово пишется со строчной буквы, если оно не начинает собой название: Венецианская республика, Новгородская республика.

Названия республик женского рода обычно склоняются в сочетании со словом республика: из Республики Армении. Но в официальных текстах часто можно увидеть несклоняемый вариант.

Существительное прогноз 'основанное на специальном исследовании предсказание, заключение, суждение о дальнейшем течении, развитии событий, явлений, исходе чего-либо' не употребляется с предлогом по. Ошибочно также употребление с предлогом о (прогноз о чём-либо). Правильно: прогноз чего-либо (прогноз погоды, прогноз хода испытаний) и прогноз относительно чего-либо (прогноз относительно течения болезни). См.: Лазуткина Е.  М. Словарь грамматической сочетаемости слов русского языка. М., 2012.

В современном русском языке глагол полоскать (промывать после стирки, мытья, погружая в чистую воду) является непроизводным, то есть он ни от чего не образуется. Исторически, по предположениям этимологов, полоскать восходит к древнему звукоподражательному слову, звучавшему примерно как «пол». Русскому слову полоскать с полногласным сочетанием оло соответствует церковнославянское пласкати с неполногласным ла (ср. подобные пары: золото – злато,  волосы – власы).