Между частями бессоюзного сложного предложения уместно поставить двоеточие для выражения изъяснительных отношений (помните что?).
Интегрировать — объединить/объединять части, стороны чего-л. в одно целое. Интеграция — объединение в одно целое каких-л. частей.
Возможны оба варианта предложного управления.
Например: России необходима решительная деспециализация военной промышленности и ее интеграция с гражданской экономикой [Виталий Шлыков. Черный хлеб военного бизнеса // «Отечественные записки», 2003]; ...происходило оседание кочевников на землях Руси и их интеграция в славяно-русский этнос [П. П. Толочко. Кочевые народы степей и Киевская Русь (1999)].
В разговорной конструкции предлоги конкурируют. Можно выбрать любой.
Точка не нужна.
Запятая перед вроде того нужна, но обособляются не именно эти слова, а несогласованное распространенное определение, стоящее после определяемого слова.
Верно написание со строчной буквы.
Верно: Довольно много людей уверены: закон попросту не будет исполняться.
Корректно: Не врач решает, жить пациенту или умереть.
Сочетание гармоничная мелодия корректно. Оно зафиксировано в Словаре паронимов современного русского языка Бельчикова Ю. А. и Панюшевой М. С. (М., 1994).
Верно: Я покажу, как надо. Я знаю, как надо играть!
