Запятая после союза и нужна, чтобы деепричастный оборот был обособлен: И, поздоровавшись со своим недавно обретенным другом и женой, он...

Возможны такие варианты:

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой стороны, ничего для этого не делающие.

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой — ничего для этого не делающие.

Радуют соседи, — во-первых, сами понимающие важность раздельного сбора и, во-вторых, агитирующие других разделять мусор.

Он удивил меня, — во-первых, поздоровавшись с собакой, а во-вторых, кивнув головой коту.

Пунктуационных ошибок в предложении нет, но знаки расставлены неудачно с точки зрения смысла: образуется нелогичный перечислительный ряд пришла, счастье, радость. Чтобы избежать этого, нужно поставить после пришла другой знак. Это может быть точка, как универсальный разделительный знак (Вот и пятница пришла. Счастье, радость принесла!), или тире, как знак следования ситуаций друг за другом (Вот и пятница пришла — счастье, радость принесла!).

Такой перенос не противоречит правилам.

Предпочтительно: Три части: введение, основная часть и заключение — следуют друг за другом.

Щупальце регенерируется - корректно.

Не пишется раздельно при противопоставлении, которое выражено союзом а (напр.: овраг не длинный, а короткий): здесь один признак отрицается, а второй утверждается. При союзе но нет противоположных друг другу понятий, они вполне совместимы, т. е. предмету одновременно приписываются два признака без отрицания одного из них: овраг и недлинный (=короткий), и в то же время глубокий. Это дает возможность сохранить слитное написание.

Корректно так:

И две сосны, как часовые,
Хранили маленькую ель.
Ни лютый зверь, ни вьюги злые –
Никто пугать ее не смел!

Кавычки не нужны. Значение 'главная часть чего-л.' зафиксирована в словаре.