Оба слова нужно писать с заглавной буквы, если топоним относится не к горе, а любому другому объекту (поселку, деревне, улице и проч.). Ср.: район Соколиная Гора, поселок Николина Гора. Если же названный объект — это именно гора, то слово гора должно записываться со строчной буквы как нарицательное существительное. В этом случае названием будет только слово Синяя. Другие примеры: Поклонная гора, Соборная гора. Однако заметим, что в топонимии России существуют такие названия, которые включают в себя географические термины, указывающие на тип объекта, например в Челябинской области есть гора Доменная Гора. Написание названий природных географических объектов и населенных пунктов России можно установить с помощью Государственного каталога географических названий. 

Изменить означает «сделать иным», сменить — «взять взамен другое». Иногда эти слова используются как синонимы, однако изменить обычно используется, когда речь идет о поправке или модификации чего-то, что уже существует. Например, «изменить план», «изменить решение». Это слово подразумевает внутреннее преобразование или модификацию. Сменить же обычно используется, когда речь идет о замене одного объекта или действия на другой. Например, «сменить работу», «сменить одежду». Это слово подразумевает внешнее действие, замену одного на другое. Таким образом, основное различие между этими двумя словами заключается в том, что изменить обычно относится к внутренним преобразованиям, в то время как сменить — к внешним заменам.

О таких случаях речь идет в справочниках, например в параграфе 97 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: «Скобками выделяются вставные конструкции, в качестве которых используются знаки восклицательный или вопросительный, передающие отношение автора к высказанной мысли или ее оценку – удивление, недоумение, одобрение, сомнение, иронию и др.: За свою жизнь отец с ребятишками окольцевал более пятидесяти тысяч (!) разных птиц (газ.); Если приверженцы гомеопатии верят, что децилионная часть одной пылинки ревеня или белладонны может произвести переворот в теле человеческом, почему же не поверить, что одна кроха философии (?) может зародить идеи в голове (??!!)  (Белин.)».

«Глагол любит букву ё и ненавидит букву о» – эта фраза позволяет запомнить, что в глагольных формах и образованных от них словах пишется буква ё, а не о: в глагольных окончаниях (лжёшь, стрижёт, печём, толчёте), в глаголах несовершенного вида на -ёвывать и отглагольных существительных на -ёвывание (размежёвывать, выкорчёвывать, перекочёвывать, затушёвывать; размежёвывание, выкорчёвывание, затушёвывание); в страдательных причастиях на -ёванный (размежёванный, раскорчёванный, затушёванный); в отглагольных существительных на -ёвка (ночёвка, корчёвка); в суффиксах страдательных причастий и отглагольных прилагательных -ённ- и -ён- и в словах, производных от таких причастий и прилагательных (напряжённый, прожжённый, пропечённый, размягчённый, отрешённый, упрощённый; гружёный, жжёный, печёный, учёный, тушёный, вощёный; напряжённость, отрешённость, упрощённость, учёность, напряжённо, отрешённо, упрощённо, жжёнка, тушёнка, сгущёнка).

О таких случаях подробно написано в «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя, а именно в части, посвященной литературной правке, главе «Согласование определений и приложений», пункте «Два определения при одном существительном».

Что касается сочетаний с большими и красными яблоками, то здесь нарушена логика. Факт, что яблоко большое, не исключает того, что оно может быть красным, то есть в данных сочетаниях большое и красное не являются отличительными признаками. Так что сочетание большое и красное яблоки и тем более большие и красное яблоки некорректны.

Во втором примере проблема связана с ограничениями в сочетаемости слова человек. Здесь возможны варианты: большой человек и маленький и два человека: большой и маленький.

Выбор формы причастия зависит от смысловых отношений между словами. Определенного грамматического правила для таких случаев нет.

Так, в первом предложении возможны варианты согласования. Причастие будет согласовываться со словом вид, если графика выделяется среди других видов искусства, которые существуют с конца 15 века: Одним из самостоятельных видов искусства, существующих с конца 15 века, является графика. Если же необходимо подчеркнуть, что именно графика существует с конца 15 века, то правильно: Одним из самостоятельных видов искусства, существующим с конца 15 века, является графика.

Во втором предложении также возможны варианты: Школьники нашего села охотно помогали группе археологов, приехавшей из Новгорода и Школьники нашего села охотно помогали группе археологов, приехавших из Новгорода.

Да, всё верно. Написание н – нн зависит от того, чем является слово – отглагольным прилагательным (тогда нужна одна буква н) или причастием (тогда пишутся две буквы н). Жареная картошка – здесь жареная отглагольное прилагательное. Как только появляются зависимые слова, отглагольное прилагательное превращается в причастие, поэтому нужны две буквы н: жаренная с грибами картошка (картошку жарили с грибами, т. е. слова с грибами относятся к причастию жаренная). В примере жареная картошка с грибами слова с грибами не относятся к слову жареная (грибы не имеют отношения к процессу жаренья, ведь их добавили потом). Таким образом, здесь перед нами снова отглагольное прилагательное (нет зависимых слов), поэтому пишется одна буква н.

Единства в словарных рекомендациях нет. «Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка (5-е изд. М., 2008) и «Словарь трудностей русского языка» Н. А. Еськовой (М., 2014) фиксируют только вариант манжета во всех значениях. «Русский орфографический словарь» РАН (4-е изд. М., 2012) фиксирует: манжета (как технический термин), но: манжета и манжет (обшлаг, отворот). А «Большой академический словарь русского языка» (Т. 9. М., СПб., 2007) и «Большой толковый словарь русского языка» С. А. Кузнецова дают варианты манжета и манжет как равноправные во всех значениях.

Таким образом, однозначно можно утверждать только одно: вариант манжета  – правильный (независимо от значения этого слова). Признавать или нет вариант манжет нормативным – в этом у лингвистов единой позиции пока нет. 

Словари прежних лет указывали в качестве единственно верного ударение на первом слоге: генезис. И до сих пор в большинстве орфоэпических словарей русского языка (особенно адресованных работникам эфира, где дана самая строгая норма) зафиксировано: генезис.

Но уже есть издания, где в качестве нормативного приводится и ударение на втором слоге: генезис. Среди них: Большой академический словарь русского языка (см. Т. 4), Русский орфографический словарь РАН, Большой толковый словарь русского языка под ред. С. А. Кузнецова (где этот вариант дан с пометой «разг.») и др. издания.

Таким образом, сейчас можно говорить о предпочтительности (особенно в строгой литературной речи) ударения генезис и допустимости в разговорной речи варианта генезис.

Ответ на вопрос № 205749 уточнен.

В «Русской грамматике» (М., 1980) в структуре слова будильник выделяется словообразовательный суффикс -льник-. Основанием для этого является то, что -льник- прибавляется за один словообразовательный шаг: буди(ть) – буди/льник/. Ср.: паять – паяльник, спать – спальник, светить – светильник. Эти существительные относятся к одному словообразовательному типу. Они называют предмет (орудие, приспособление), предназначенное для выполнения действия, названного мотивирующим словом.

Однако выделение суффикса -ник- тоже имеет некоторые основания. Этот суффикс в том же значении мы находим в других словах (например, плавать – плавник). Это дает возможность считать словообразовательной морфемой суффикс -ник-, а -ль- (звук, не обладающий собственным значением) – звуковой прослойкой между морфемами (такие части слова в науке называют интерфиксами или инфиксами).