О правильности написания можно рассуждать с точки зрения правил 1956 года (т. е. можно утверждать, что сегодня раздельное написание по чему в предложенном контексте правильным не является). При этом логические основания для написания сочетания по чему другому с пробелом, несомненно, есть: в указанном сочетании по чему другому имеет значение ("по иной причине"), отличное от наречия почему ("по какой причине").

Слитное написание посему отвечает современным нормам правописания.

Запятая не нужна. Деепричастный оборот не обособляется, если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения (такое деепричастие от придаточной части запятой не отделяется), ср.: Перед старыми заводами возникали десятки серьёзных проблем, не решив которые невозможно было перейти к новым методам постройки кораблей; Направо была дверь, пройдя которую можно было попасть в коридор, ведущий на сцену.

Согласно грамматическим нормам все приведенные мужские фамилии склоняются. Вот что пишет Л. П. Калакуцкая в своей работе «Фамилии. Имена. Отчества. Написание и склонение»: Орфографически правильное написание фамилии и имени в именительном падеже и правильное написание их в любом косвенном падеже является основой любого документа – от свидетельства о рождении и паспорта до оформления любого иного документа (диплома, получения и передачи ваучера, документов, связанных с получением и передачей наследования...).

Вне связи с контекстом предложение трудно оценить с точки зрения соответствия лексическим нормам русского языка. Прежде всего возникает вопрос логический: если речь идет о совпадающих днях, то есть ли резон указывать на ту же неделю и тот же месяц? Может быть, отредактировать предложение и выразить простую мысль иными словами? Если автору все же нравится такой ряд однородных членов предложения, то лучше всего повторить указательное местоимение тот (та).

Форма управления «доказать о том» является устаревшей, оценивается как просторечная и не соответствует современным нормам русского языка. Хотя на протяжении XIХ — первой трети ХХ века она была распространена: Признаюсь, у меня было сильное желание, чтобы кто-нибудь из сыновей был легко ранен; это бы вернуло его к нам и заодно доказало о добросовестной службе в строю [К. К. Романов. Дневники. Воспоминания. Стихи. Письма (1914)]. 

Использование что в значении 'который' вполне корректно, в том числе по отношению к названиям лиц. Сложно назвать такое употребление новым, ср., напр.: И та, что сегодня прощается с милым, — Пусть боль свою в силу она переплавит (А. Ахматова); «А подвела, — радостно объяснил ему парень, что стоял рядом, — не приехала» (Ю. Домбровский). Другое дело, что такое употребление более характерно для художественных текстов, чем для публицистических.

Лучше выбрать вариант хетчинг. Во-первых, по нормам русской орфографии не в начале корня после букв, передающих твердый согласный, в словах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква е; буква э пишется только в немногих нарицательных существительных, таких как мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп, сэр и некоторых других словах (преимущественно узкоспециальных), их круг определяется орфографическим словарем. Во-вторых, в словарях русского языка уже зафиксировано слово хетчбэк, в котором первая часть восходит к тому же английскому корню.

Да, это официально действующие «Правила русской орфографии и пунктуации», утвержденные в 1956 году. Официально действующие правила, в ряде случаев значительно отстающие от современной практики письма, противоречащие ей, – такой вот парадокс. Понятно, что сформулированное в 1956 году и обусловленное идеологическими причинами правило о написании со строчной буквы названий, связанных с религией, сейчас никто не соблюдает: по современным орфографическим нормам первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников пишутся с прописной.

См. также ответ на вопрос № 257105.

Скорее всего, это связано с тем, что в русском языке не существует употребляющихся самостоятельно слов Тель, Авив, Буэнос, Айрес, Анджелес и т. д. Согласно нормам русской орфографии раздельно пишутся только составные географические названия, представляющие собой сочетание существительного с предшествующим прилагательным или числительным (Нижний Новгород, Ясная Поляна, Царское Село) или включающие в свой состав такое сочетание (мыс Доброй Надежды). Конечно, в названиях Нью-Йорк, Буэнос-Айрес первая часть тоже является прилагательным (нью – новый, буэнос – добрых), но по-русски они как прилагательные не воспринимаются.