Правильно: Съемка зала самбо в ГБОУ «Лицей "Международная космическая школа им. В. Н. Челомея"».

Приди в норму, очнись, протри глаза — это не вводные конструкции. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации" (Приложение 2. Вводные слова и сочетания), размещенном на нашем портале. 

Корректно: Наши предки-славяне оставили нам прекрасное наследство или Наши предки, славяне, оставили нам прекрасное наследство. 

Нет, это закономерное сочетание. См., например, 

Большой универсальный словарь русского языка

НАИЗУСТЬ, нареч.

1.0. В такой степени, к-рая позволяет дословно воспроизводить текст, не глядя в источник, где он зафиксирован графически. Син. на память, по памяти.

Выучить что-л. (заучить что-л., затвердить что-л., запомнить что-л., помнить несов. что-л., знать несов. что-л., читать, цитировать, шпарить зд. несов., разг. …) наизусть. □ Это стихотворение я знаю наизусть. ● 1.1. Очень хорошо, подробно, со всеми деталями, во всех подробностях.   Син. прекрасно. Ну что ты с ним споришь, он же юрист и знает этот закон, что называется, н. Я н. знаю всё, что она мне может сказать.

Точка после кавычек в данном случае не ставится (пример исправлен). Точка после кавычек не ставится, если перед закрывающими кавычками стоит многоточие, вопросительный или восклицательный знак, а заключенная в кавычки цитата (или прямая речь) является самостоятельным предложением. Правильно: Старый священник подошел ко мне с вопросом: «Прикажете начинать?»

1. «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова (см. сервис «Проверка слова») фиксирует слова эпиляция и депиляция как синонимичные. Соответственно, возможно как биоэпиляция, так и биодепиляция.

2. Знак / (косая черта) допускается использовать в функции, близкой к союзам и и или, в научной и деловой речи.

Да, в современном русском языке фамилии на -о в образцовой литературной речи не склоняются (ни мужские, ни женские). Но в разговорной речи и в языке художественной литературы, отражающем устную речь, считается допустимым склонение фамилий украинского происхождения на -ко, -енко по склонению существительных женского рода на -а (как если бы исходная форма кончалась на -ка): пойти к Семашке, в гостях у Устименки. Фамилии такого типа последовательно склонялись в художественной литературе XIX века (у Шевченки; исповедь Наливайки; стихотворение, посвященное Родзянке). В XIX веке склонение фамилий на -ко, -енко по образцу существительных, оканчивающихся на -а, было нормой литературного языка.

Л. П. Калакуцкая пишет: «Склонение фамилий украинского происхождения на -ко, -енко по средне-мужскому роду (стихотворение Шевченка, встретился с Франком) неправильно, нелитературно. Оно является следствием переноса украинского склонения этих фамилий в русский язык».

В названиях улиц, площадей, переулков, проспектов и пр. с большой буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, площадь, проспект и т. п.), служебных слов, а также слов года, лет. Поэтому слово североморцев тоже надо писать с большой буквы. Корректно написание через дефис (приложение присоединяется дефисом): проспект Героев-Североморцев. Ср.: улица Героев-Панфиловцев (в Москве; такое написание зафиксировано орфографическим словарем В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?»).

Лучше изменить способ подачи числовой информации: Город пополнился почти восемью с половиной тысячами новых жителей. Если все же необходимо оставить числовую форму, то правильно: Город пополнился почти 8,5 тысячи новых жителей.

Правильно: сопливеть, личные формы: сопливею, сопливеет. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.