Запятая нужна, поскольку оставаясь дома — деепричастный оборот.
Что было дальше? — конечно, грамотно.
Да, правильно слитное написание: с одиночными причастиями не пишется слитно.
Если смысловой акцент в этом предложении падает на слова полный задумчивости, запятая не нужна.
Предпочтительно и более частотно: бросился с крыши.
Правильно: проректоры.
Отрицать – это глагол несовершенного вида. Соответствующего ему глагола совершенного вида в русском языке нет.
Правильно в родительном падеже мн. числа: турок.
Такая форма есть: пылесошу. Она грамматически верна, но из-за своей неблагозвучности, как правило, избегается носителями языка, во многих словарях можно встретить соответствующие указания («нет», «затрудн.», «избегается», «несвободно» и т. п.).
Правильно только: они пробегут.
