См. правило здесь (все Правила). Правильно: видите (правило здесь).

Корректны два варианта: 

• Она сидела и думала, с чем ей понравилось больше и могла ли она вообще выбрать.
• Она сидела и думала: с чем ей понравилось больше и могла ли она вообще выбрать?

Верно: Внутри музыкальной шкатулки были медные валики с тонкими стальными шипами, и около каждого валика сидела на бронзовом рычажке медная стрекоза, бабочка или жук. Первая запятая разделяет части сложносочиненного предложения, вторая разделяет однородные подлежащие.

Следует различать две группы глаголов. Во-первых, это глаголы второго спряжения на -ить типа погладить — погладят. Страдательные причастия прошедшего времени от этих глаголов образуются с регулярным чередованием согласных очень древнего происхождения: погладить — поглаженный, выкрасить — выкрашенный, отметить — отмеченный, сломить — сломленный и т. п. Исключения немногочисленны: пронзить — пронзенный, заклеймить — заклейменный и некоторые другие. Во-вторых, это глаголы второго спряжения на -еть типа терпеть — терпят. Таких глаголов около 40 (без учета приставочных и суффиксальных производных), но страдательные причастия прошедшего времени образуют лишь отдельные из них. В их числе упомянутые в вопросе глаголы увидеть и обидеть (этимологически родственные). При образовании страдательных причастий прошедшего времени от этих глаголов чередования согласных не возникало. Поэтому причастие увиденный с исторической точки зрения абсолютно закономерно (и в нем выделяется суффикс не -енн-, а -нн-, см.: Русская грамматика. М., 1980. Т. 1. С. 669). Напротив, причастие обиженный исторически незакономерно и возникло в ходе развития русского языка, сменив первоначальную форму обидѣнъ (= совр. обижен) на знакомую нам форму с чередованием д/ж, ср., например, контекст с исконной формой причастия: обидѣныи же притече и припаде къ святому [Епифаний Премудрый. Житие Сергия Радонежского. XV век].

Названия торговых марок заключаются в кавычки и пишутся с большой буквы: Он сидел и попивал «Нескафе». Вряд ли здесь можно говорить о бытовом употреблении, позволяющем писать без кавычек строчными (ср.: выпил фанту), всё-таки название этой торговой марки в русском языке (в отличие от некоторых других языков) не стало нарицательным существительным.

Корректно: Крикнул на татами «Хаджиме!» судья.

Да, верно.

У местоимения его род не определяется.

Правильно: Высокий, прямой, он сидел в кресле, положив ногу на ногу.

Возможны варианты: круглые сутки и круглыми сутками.