Сочетание необычное, но оценивать его как корректное или некоррекное весьма сложно: ни замысел автора, ни контекст, ни стилистические особенности текста не известны.

Вероятно, вместо второго что должно быть какое-то другое местоименное слово? В этом случае нужна частица ни, усиливающая отрицание, например: Мне не понравилось ни то, что написано, ни то, как написано.

Правильно слитное написание: Никакая часть его... Местоименное прилагательное никакой пишется слитно. Раздельно пишется частица ни и местоименное прилагательное какой, например: я не знаю ничего: ни кто он, ни какая у него машина.

Во всех четырех случаях здесь нужно писать частицу ни. Обратите внимание на лишнюю запятую в первом предложении. Правильно: Как бы он себя с ней ни вел и что бы она ни сделала...

В двух случаях следует употреблять частицы ни: Как бы мы ни любили ушами, как бы нас ни восхищала возможность смотреть на объект, все равно это не сравнится с волшебством тех чувств, которые вызывает малейшее прикосновение...

Но сколько бы раз ни снился мне этот кошмар, столько бы раз я ни решался прыгать в воду, я не мог решиться бессмысленно пожертвовать собой.

...и я поддержу тебя, какое бы решение ты ни принял.

Ни один из вариантов не является ошибочным (двоеточие, однако, не требуется ни в первом случае, ни во втором). Если внимание акцентируется не на самой  возможности задать вопрос, а на адресе сайта, второй вариант выглядит более логичным.

Союзы (любые) никогда не выделяются запятыми: ни в начале, ни в середине, ни в конце предложения. Запятая может разделять части сложного предложения или члены предложения, связанные союзом. Кроме этого, союз как будто может входить в состав сказуемого.

Под ударением пишется е: некто (некий человек, кто-то), без ударения – и: никто (ни один человек, ни одно существо). Формы этих местоименных слов пишутся раздельно в сочетаниях с предлогами: не у кого (спросить), ни о ком (не спрашивал).