Если эти слова не согласуются грамматически с остальными словами в предложении, то кавычки будут уместны.
Это слово уже зафиксировано в академическом орфографическом словаре.
Понятно, что маневры автомобилей бывают разными, в частности заезд на круг, движение по кругу и на круге, выезд с круга. Что подразумевает упомянутая Вами фраза, не вполне ясно.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Корректно: По идее, должны подойти, насчет длины не уверен.
Запятая уместна. Слова по существу могут выделяться как вводные в знач. 'в сущности говоря'.
Возможны те и другие сочетания в зависимости от контекста. Например: возьми из ящика, возьми в другой комнате.
Запятая перед как нужна.
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".
Запятая стоит верно.
