В этом предложении слово существующих является причастием, на что указывает зависимое наречие уже, указывающее на время действия. Поэтому не в контексте вырезки из уже не существующих газет пишется раздельно.

Правильное слитное написание. Сегодня ты выполнил задание ещё неаккуратнее, чем вчера. Более предпочтиттельный вариант: Сегодня ты выполнил задание ещё более неаккуратно, чем вчера.

В таком контексте недоверенное — прилагательное (сравним значение слова доверенный в «Большом толковом словаре»: 'пользующийся, облечённый чьим-л. доверием'), обозначающее непринадлежность к какому-либо разряду явлений, а потому пишущееся слитно с не (см. пункт 2 параграфа 148 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).

Наличие предлога в случае перед отглагольным существительным является признаком того, что не с образует с этим существительным единое слово: в случае неперечисления (см. пункт 3 параграфа 148 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).

Верно слитное написание прилагательного недоступные. Зависимое слово клиентам на него не влияет (см. примечание к параграфу 149 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина). 

Ни слитно, ни через дефис такое обозначение категории сообщений написать нельзя. Можно заключить в кавычки оба наименования — так читателю будет легче понять фразу.

Частица не с причастием, имеющим зависимое (поясняющее) слово, пишется раздельно.

Такие слитные написания корректны, если они имеют терминологический характер, обозначая типы предметов. Например, как указывается в текстах на тему пожарной безопасности, отделочные материалы делятся на нераспространяющие, слабораспространяющие, умереннораспространяющие и сильнораспространяющие. Из контекста понятно, что речь идет о распространении пламени, но зависимое слово пламя здесь опущено, а значит, не актуализирован глагольный признак, и это тоже один из факторов слитного написания. Подробнее об этих факторах можно узнать в соответствующем разделе информационно-поисковой системы «Орфографическое комментирование русского словаря».

Правильно раздельно: в кашель. Образовано новое сочетание предлога и существительного, выступающее в роли наименования признака состояния «истерика».

Благоприятный в эмоциональном отношении? Если да, то наречие эмоционально и прилагательное благоприятный пишутся раздельно.