Имена и фамилии, оканчивающиеся на -о, не склоняются в русском литературном языке.

«Словарь русского капиталистического жаргона начала XXI века» В. С. Елистратова (М., 2013) дает такое определение жаргонному глаголу пушить: 'оказывать давление с какой-либо целью, стараться склонить к чему-либо, заставить сделать что-либо, а также прорабатывать, отчитывать' (от англ. to push в близких значениях). Но в приведенном Вами контексте вполне возможна замена такими словами: буду ее решать, вплотную займусь ею.

Точка в заголовке, действительно, не ставится. Но в школьной практике (особенно в начальной школе) к заголовкам наподобие Классная работа. Домашняя работа. Диктант. Изложение. и т. п. это правило обычно не применяют, более того, отсутствие точки считают ошибкой. Это делается для того, чтобы  у детей выработался стереотип: в конце предложения надо ставить точку. Хотя в старшей школе, когда ученики уже привыкли ставить точку в конце предложения, было бы уместным объяснить им, что на самом деле точки в заголовках не нужны.

Такая ситуация пока не описана в правилах. Полагаем, что запятую ставить не нужно. Один из факторов, отменяющих запятую между двумя частями сложного предложения, — это восклицательная или вопросительная интонация, связывающая части. Ваше предложение не содержит вопроса, не является восклицательным, но все же интонация имеет значение. Две части, соединенные союзом и, нужно прочитать слитно, без паузы, так как они образуют один компонент ряда однородных, соединенных повторяющимся союзом то. Отсутсвие запятой перед и будет подсказкой читателю, поможет правильно воспринять структуру фразы и ее интонационный рисунок. 

Полагаем, эти несколько предложений лучше оформить в отдельный абзац:

— Благодарю вас, — проговорила она своим мягким голосом.
*Еще что-то про ее описание, например, 2–3 предложения или даже больше*.
Затем она подняла глаза и добавила:
— Меня зовут Анна.

Обратите внимание, что при передаче устной речи персонажей местоимение вы, даже обращенное к одному лицу, принято писать со строчной буквы.

Мужская фамилия Ган склоняется: Ган, Гана, Гану, Гана, Ганом, о Гане. Женская фамилия Ган несклоняема.

В поэтической речи восклицательный знак может ставиться в середине предложения (обычно после обращений или междометий) для обозначения особой эмоциональной интонации. Использование прописной буквы в этом случае ошибкой не будет, но при цитировании лучше использовать вариант, соответствующий замыслу автора.

Академический справочник "Правила русской орфографии и пунктуации" 2006 г. как раз предлагает писать по-социал-демократически и т. д.

Слово поторопись – это призыв к адресату делать что-либо быстрее. Поэтому фраза Поторопись, уже шестой час вполне может быть сказана в начале шестого (в 5:05 или в 5:10). Допустим, кому-либо нужно сдать работу в шесть, тогда в начале шестого его могут призвать поторопиться, потому что осталось меньше часа. А в 5:45, вероятнее всего, будет сказано: Поторопись, уже почти шесть.

Уже начало шестого (в 5:05 или 5:10) – правильно.