Причастие удаленный образовано от приставочного глагола совершенного вида, а причастие квашеный - от бесприставочного глагола несовершенного вида. Этим объясняется разница в написании.

По общему правилу: пишутся с одной Н полные прилагательные и причастия, образованные от бесприставочных глаголов несовершенного вида (здесь - "плавить"). Две Н пишутся при наличии у причастия зависимых слов. 

См. ответ на вопрос № 194738.

Слово считаные в значении 'очень немногие' пишется с одним Н. Написание этого слова приведено в соответствие общему правилу: в отглагольных прилагательных, образованных от бесприставочных глаголов несовершенного вида, пишется одно Н. Раньше написание считанный приводилось в списке исключений, этим и вызвана фиксация с двумя Н в Большом толковом словаре.

Правильно: аванс, не полученный в срок. Это причастие, верно раздельное написание. Критерий разграничения причастия и отглагольного прилагательного таков: слово в полной форме с суффиксом -н-(-нн-), -ен-(-енн)- является отглагольным прилагательным, если оно образовано от глагола несовершенного вида и не имеет зависимых слов, и является причастием, если образовано от глагола совершенного вида и/или имеет зависимые слова.

Не очень хорошо: выплачивается в зарплату, можно сказать: аванс, не выплаченный в срок, выдается вместе с зарплатой.

Отгибая – это деепричастие несовершенного вида (в разных концепциях: особая глагольная форма или отдельная часть речи), образованное от глагола отгибать.

Такое употребление возможно: родиться – двувидовой глагол, т. е. он может употребляться и как глагол совершенного вида (что сделать?), и как глагол несовершенного вида (что делать?).

Это отглагольное прилагательное, оно образовано от бесприставочного глагола несовершенного вида. Этим объясняется такое написание.

От наслаждаться (глагол несовершенного вида) форма 1-го лица ед. числа будущего времени: буду наслаждаться. От насладиться (глагол совершенного вида) образуется форма 1-го лица наслажусь.

Организовать – двувидовой глагол, он может употребляться и как глагол совершенного вида (при обозначении действия, доведенного до конца), и как глагол несовершенного вида (для передачи процессуальности, обозначения действия, происходящего в настоящем, не доведенного до конца).