Сочетание с дозволения N является обстоятельственным оборотом со значением условия (= «если дозволит N»), а такие обороты не требуют обособления. Однако в данном случае сочетание носит характер этикетной формулы, выделяемой с помощью запятой: С дозволения Всевышнего Аллаха, мы приведём изречения из Священного Корана.
Сравним этикетный оборот с вашего позволения, например: С вашего позволения, я расскажу для начала историю жонглера, попавшего в рай… [А. П. Ладинский. Анна Ярославна ― королева Франции (1960)].
Это предложение с прямой речью внутри авторских слов. Вы оформили его верно.
Корректно: В первые несколько дней после Танькиного отъезда она ещё скучала — нет, не по дочери, а по непоседливой Оксанке.
Следует использовать кавычки: Таких военные называют «груз 300».
Возможен вариант со склонением: Таких военные называют «грузом 300».
Возможны оба варианта: в первом случае имеется в виду сравнение, во втором – уподобление.
Да, поясняющее приложение нужно отделить запятой или тире: У него был верный друг — щенок Шарик; У него был верный друг, щенок Шарик.
Деепричастие устремясь существует, оно не является просторечным или разговорным. Эту форму можно встретить и в художественной литературе, например: Изо всех труб высоко над домами стоят, неподвижно устремясь в зеленое небо и там слегка курчавясь, белые прямые столбы дыма. А. Куприн, Юнкера. Дело в том, что в русском языке некоторые глаголы совершенного вида образуют деепричастия не только от основы прошедшего времени присоединением суффикса -в/-вши/-ши, но и от основы настоящего времени с помощью суффикса -а (-я). Таков и глагол устремиться.
Оба варианта верны, выбор может зависеть от контекста.
Допустимо и слитное, и раздельное написание.
Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
