Такого правила нет. Далеко не все звуковые аббревиатуры, оканчивающиеся на согласный, согласуются по мужскому роду. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Завести дело корректно, если дело употребляется в значении 'собрание документов, относящихся к какому-либо факту или лицу'. А вот в значении 'что-либо подлежащее судебному разбирательству, само судебное разбирательство, процесс' корректно: возбудить дело; глагол завести в таких случаях обычно не употребляется.
Если в письме было сказано, что книги нравятся, запятая не нужна (два однородных придаточных относятся к одному главному – она писала).
Нормативно только рекламировать. Глагола рекламить нет в нормативных словарях русского языка.
В словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011): Древняя Индия.
Указанная запятая нужна.
Запятая после веков не требуется.
Возможен вариант с двоеточием.
Заодно будет интересна статистика: насколько уменьшится количество объявлений за день.
Вылазят - просторечное слово.
Этот оборот несколько архаичен, но в канцелярской речи он используется.
