Да, это глагол. Но надо помнить, что в форме бывало он может употребляться в функции вводного слова: Я, бывало, // Хранила в памяти не мало // Старинных былей, небылиц // Про злых духов и про девиц… А. Пушкин, Евгений Онегин.

Сами по себе слова к тому же  не обособляются. Но выделяются запятыми присоединительные обороты, начинающиеся этим союзом, например: Я не смогу выполнить это поручение: времени очень мало, к тому же я не умею делать два дела сразу.

Из контекста следует, что дети ели в школе мало, плохо питались, поэтому верно слитное написание: дети недоедали в школе. Ср.: Дети никогда не доедали (то есть не съедали до конца) своих порций, так как перемены были короткими.

Выражение могло возникнуть на базе фольклорных песен. По образности это экспрессивное преуменьшение, основанное на невозможности кошачьего «плача». Коты не проливают слез, да еще в таком количестве, которое можно было бы измерить, отсюда значение фразеологизма: 'очень мало, крайне недостаточно'.

Вполне можно было бы ожидать появления этого слова в словарях из серии «Новое в русской лексике». Не думаем, что есть какие-то особые причины невключения в словари именно этого слова. Просто новых слов много, а людей, которые составляют словари, мало.

Вы совершенно правы: слово давнопрошедший пишется слитно только в качестве термина (давнопрошедшее время = плюсквамперфект), но давно прошедшие дела, воспоминания о давно прошедшем. Точно так же: далеко идущий караван, но далекоидущие планы, выводы; многообещающий врач, но человек, много (чего) обещающий и мало (чего) делающий.

Оба варианта возможны. Д. Э. Розенталь писал: «При наличии в составе подлежащего слов много, мало, немного, немало, сколько, столько преобладает форма единственного числа сказуемого, однако в последнее время, в связи с общей тенденцией к согласованию по смыслу, форма множественного числа находит все более широкое распространение».