Как мы и писали ранее, литературная норма предполагает склонение обеих частей наименования: народный поэт Республики Калмыкии, глава Республики Калмыкии.
Корректно: двое взрослых (но два взрослых человека).
Предпочтительно: двое рабочих.
Следует писать с дефисом без пробелов.
Правильно через дефис: врач-психиатр.
См. «Письмовник».
Поскольку определение участковый ("обслуживающий какой-л. участок") относится к обоим словам врач-терапевт, верно: участковый врач-терапевт.
Правильно: двое брюк (о двух предметах одежды); две пары брюк – о четырех предметах одежды, составляющих два парных сочетания.
См. в окне «Искать на Грамоте».
Об употреблении собирательных числительных см. в «Письмовнике».