1. Арбат нужно писать без кавычек, даже если это это не официальное название части улицы.

2. По аналогии: болезнь Дауна - даун; болезнь Стилла - стилл.

Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований — географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов.

В остальных случаях они пишутся со строчной буквы.

Ср., напр.: невские берега, невские набережные и Александр Невский, Невский проспект, Невская битва; донское казачество и Дмитрий Донской, Донской монастырь; московские улицы, кварталы, московский образ жизни и Московская область, Московский вокзал (в Петербурге), Московская государственная консерватория; казанские достопримечательности и Казанский кремль, Казанский университет, Казанский собор (в Петербурге, Москве); северокавказская природа и Северо-Кавказский регион, Северо-Кавказский военный округ; 1-й Белорусский фронт, Потсдамская конференция, Санкт-Петербургский монетный двор, Великая Китайская стена, Большой Кремлёвский дворец.

Установить, являются ли определения однородными, можно только в контексте. Слова в приведенных парах вне контекста могут быть восприняты как неоднородные, но в художественном тексте они могут сблизиться по значению и оказаться однородными. 

Географические названия, использованные в переносном смысле для обозначения какой-то территории, в чем-то похожей на ту, которая официально названа данным именем собственным, обычно кавычками не выделяются. Ср.: Во многих российских городах есть свой Арбат. 

В первом случае вводное слово не выделяется, так как входит в состав обособленного оборота. Во втором случае слова "по мнению" входят в состав предложения на правах члена предложения (сближаясь по значению со словами "по версии").

Наречие наудачу пишется слитно, обстоятельство, выраженное этим наречием, не обособляется. Однако в приведенном Вами примере это слово употреблено неправильно. Значение наречия наудачу: 'надеясь на благоприятный случай; без предварительного обдумывания, выбора и т. п.', например: действовать наудачу, сказать наудачу, вытащить билет наудачу. Сочетанию предлога с существительным на удачу (например: надеяться на удачу) в этом предложении тоже не место. Возможный вариант: К счастью, в их квартире и у соседей никого не было.

Слова по счастливой случайности могут быть обособлены, особенно если стоят в середине предложения, ср.: Я потеряла сознание ненадолго, голова, по счастливой случайности, была почти не ушиблена, ранений много, но легкие. В. Каверин, Открытая книга. В начале предложения эти слова чаще не отделяются запятой. Но ошибкой эта запятая не будет.

Два двоеточия в одном предложении не запрещены справочниками, но делают предложение неудобным для чтения. Рекомендуем часть предложения оформить как вставную конструкцию: На турнирах будет очень сильно: текущие 4* лекари (Кабан, Кирилл, Ригард) лечат только по 400 здоровья, а тут сразу 500.

Во всех парах согласованные определения, во-первых, объединены общим положительным впечатлением, во-вторых, связаны причинно-следственной связью («двор красивый, потому что ухоженный» и т. д.). Это предполагает постановку запятой: 1) красивый, ухоженный двор; 2) плодотворная, эффективная работа; 3) хороший, содержательный доклад.

Почему по Мясницкой улице в XIX веке текли молочные реки и кто был владельцем самой могущественной молочной «империи»? Как жили состоятельные москвичи в XVII - XVIII веках и как богатство проявлялось в облике их домов? Где располагался знаменитый кабак «Лупиха», в честь которого был назван Лупихинский переулок (наст. Даев)?