Словари фиксируют такой предикатив - "лишне". Ошибки нет.
Верно: Даже не знаю, что и думать об этом сыре.
Пунктуация зависит от того, к чему относятся слова в том случае. Если к глаголу доказываем, то запятая нужна. Если к запрещен, то не нужна.
Запятая не ставится.
Точка ставится после закрывающих кавычек.
Корректно обособить конструкцию даже самый незначительный.
Знаки препинания стоят правильно.
Ошибку можно охарактеризовать как речевую, так как грамматически конструкция работать с корректна (ср.: работать со словарем, с коллегами, с анкетами), однако зависимое слово в ней выбрано неудачно. Это проблема лексической сочетаемости. Нормально выражение заниматься домашними делами.
Запятая нужна, поскольку это сложносочиненное предложение, а у частей нет общего второстепенного члена (слово так относится только к первому предложению).
Знаки препинания расставлены верно.
