Такое употребление является лексической ошибкой.
Большой толковый словарь русского языка:
ДОЛО́Й. I. нареч. 1. Прочь, вон. Лошадь норовит сбросить всадника д. 2. в функц. сказ. О быстром, решительном движении прочь откуда-л., с чего-л. * Руслан, не говоря ни слова, с коня долой (Пушкин). II. межд. Употр. как приказ, требование удалить, удалиться, убрать вон, снять, выбросить и т. п. Шапки д.! (требование снять шапки в знак почтения, уважения). Д. войну! Д. неграмотность! Голову д.! (приказ отсечь, отрубить голову кому-л.). С глаз доло́й! Резкий, гневный приказ удалиться. С копыт доло́й. Разг.-сниж. Упасть. С плеч (с рук) доло́й. Об окончании чего-л. трудного, тяжёлого, об освобождении от чего-л. тяжёлого.
Правильно с НИ.
Правильно: День российской науки.
Больше всего — целостное наречное выражение, является эквивалентом наречия степени. В состав выражения входит застывшая форма сравнительной степени наречия (для которого начальной формы в современном русском языке не находится) или прилагательного большой. Однако само наречное выражение в целом, указывая на высокую степень чего-л., форм степеней сравнения не имеет, поскольку наречия степени относятся к разряду обстоятельственных наречий, у которых, в отличие от определительных наречий (образованных от качественных прилагательных), форм степеней сравнения нет.
Такое сочетание имеет право на существование.
Да, корректно в кавычках.
Отрицание не пишется раздельно с наречиями (кроме образованных от имен прилагательных с помощью суффикса -о), а также с неизменяемыми словами, употребляющимися в роли сказуемого, например: не вблизи, не вовремя, не вполне, не вправе, не впрок, не всерьёз, не вскользь, не вчера, не досыта, не завтра, не зря, не иначе, не навек, не навсегда, не нарочно, не очень, не позади, не полностью, не сегодня, не слишком, не сверху, не сразу; не жаль, не замужем, не зазорно, не надо. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 146.
Такое употребление возможно, однако характерно для разговорной речи.
