См. «Письмовник»: здесь и здесь. Название должности генеральный директор по правилам пишется с маленькой буквы.
Употребление слова город (и сокращения г.) перед названием города – характерная черта канцелярской речи, поэтому в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой дана рекомендация употреблять сокращение г. (и полное слово город) ограниченно, преимущественно перед названиями городов, совпадающими с фамилиями людей, напр. г. Пушкин, г. Королев. Однако на практике эта рекомендация редко соблюдается, сокращение г. и полное слово город употребляют перед названиями всех городов.
Корректно: из Борзоя, в Борзое (ср.: из Шатоя, в Шатое).
См. в словарях.
Предложение некорректно. Верно: Для меня Москва ещё полна открытий.
Лучше всего: жил в Москве.
Склоняются обе части: Сивцева Вражка, Сивцеву Вражку, с Сивцевым Вражком, в Сивцевом Вражке.
