Есть еще несколько случаев, когда после согласных пишется э. Это написание после приставок или составных частей сложных и сложносокращенных слов (предэкзаменационный, сэкономить; двухэтажный, Мосэнерго); написание во многих собственных именах иноязычного происхождения и производных от них словах (Бэкон, Дэвид, Сэлинджер; Мэриленд, Тайбэй, Улан-Удэ, Хуанхэ). Кроме того, э пишется в названиях букв (бэ, вэ, гэ и др.), в составе аббревиатур, пишущихся по названиям букв, и слов, образованных от буквенных аббревиатур, напр.: бэтээры, кавээнщик, гэпэушник, кагэбэшный, в звуковых аббревиатурах и образованных от них словах, напр.: ГЭС, ТЭЦ, ВТЭК, НЭП, втэковский, нэпман. 

Но в целом закономерность, о которой Вы говорите, существует. По нормам русской орфографии не в начале корня после букв, передающих твердый согласный, в словах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква е (бизнес, бренд, коттедж, партер, стенд, инерция); буква э пишется только в немногих нарицательных существительных, таких как мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп, сэр и некоторых других словах (преимущественно узкоспециальных), их круг определяется орфографическим словарем.

1. Аббревиатура в данном случае заключается в кавычки, так же как нужно было бы заключить в кавычки полное название: театр-студия "КИТ".

2. Нет, не нужно.

3. Формально - не является.

На этот вопрос в справочной литературе можно найти противоположные ответы. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано, что названия рек согласуются с родовым наименованием, и приведен пример между реками Обью и Енисеем. В то же время другие пособия указывают, что с географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: у реки Волги, но на реке Енисей.

На практике встречается как склонение, так и несклонение названий рек в подобных конструкциях, ср.: 

• Пространство между реками Доном и Непрядвой называлось Куликовым полем. С. Голицын. Сказания о земле Московской (1968-1988)
• Трудно было пробираться речными путями на Пясину, поэтому решили установить морскую связь между реками Енисей и Пясина. М. Белов. Мангазея (1969) 
• Пять тысяч лет назад такими «умными соседями» оказались жители двух речных долин — на Ниле (Египет) и между реками Тигр и Евфрат (Месопотамия). А. Алексеев. Из жизни древнего Египта // «Наука и жизнь», 2007

• Между реками Енисеем и Хатангой (в так называемом Енисей-Хатангском региональном прогибе) открыты газовые залежи, и специалисты прогнозируют наличие здесь нефти. Е. Сидорова. Притяжение Арктики // «Наука в России», 2012.

Таким образом, допустимы варианты, и окончательное решение в подобной ситуации — за автором (редактором) текста. Ошибки в любом случае не будет.

Мы не выполняем домашние задания. 

Мы согласны с журналисткой: сочетание попасть в курьез и вправду нельзя назвать корректным. Здесь нарушена сочетаемость слов. Со словом курьез употребляются другие глаголы: произошел курьез, вышел курьез. А вот глагол попасть употребляется с другим существительным: попасть в переплет.

Во втором предложении, бессоюзном сложном, действительно лучше поставить вместо тире двоеточие, потому что между частями можно добавить сочетание и видела, что. В первом и третьем предложении запятая закрывает несогласованные определения, включенные в однородный ряд с согласованными; эти определения относятся к существительным, которые находятся в предыдущем предложении, — автор использует прием парцелляции.

ПОЗОЛОТИ́ТЬ, позолочу́, позолоти́т (! неправ. позоло́тит); позоло́ченный; позоло́чен, позоло́чена, позоло́чено, позоло́чены и позолочённый; позолочён, позолочена̀, позолочено́, позолочены́ \\ в формах с сочетанием нн: позолоченный... – позолоче[н]ый; в формах с сочетанием нн: позолочённый... – позолочё[нн]ый и позолочё[н]ый.

Второй вариант, возможно, и нагружает текст визуально, зато однозначно показывает, что части предложения связаны друг с другом. Другие варианты показывают это не столь однозначно.