Слитно пишется местоименное наречие затем в значении 'для того, с той целью': В том числе затем, чтобы отвечать на такие вопросы.
Правильно: по истечении некоторого времени (после истечения).
Оба выражения корректны.
Ответы на вопросы по пунктуационному оформлению каждого из этих слов можно найти в архиве "Справочного бюро".
Глаголы остаться и оставаться различаются видом, что отражается и в их значениях. Остаться — глагол совершенного вида, обозначает факт завершенного действия, указывает на достижение результата (хотя бы в данный момент), например, когда после происшествия или события кто-то остался живым. Оставаться — глагол несовершенного вида, указывает на длительность или привычное состояние, например, когда кто-то продолжает быть живым в течение какого-либо времени.
Верно: тем, кто мешает.
Вы имеете в виду знак перед словом "тем"? Эта запятая нужна.
