Орфографическим нормам соответствует первый вариант, однако в учредительных документах может быть закреплен и второй вариант.
Из перечисленных местоимений окончания есть у слов она, оно и они.
Корректно со строчной буквы.
Да, верно: фонд "Новые имена".
Названия такого типа (реальные собственные имена) заключаются в кавычки только в тех случаях, когда они употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы). Ср.: Московский городской педагогический университет и ГБОУ ВПО «Московский городской педагогический университет». Название Российский фонд прямых инвестиций пишется без кавычек, но если оно употребляется в сочетании с родовым словом, то кавычки нужны. См. подробнее: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).
Нет, запятые не нужны.