Оба варианта правильны.
Сочетание "в этой связи" не ошибочно.
Верно: побратимские.
Верно раздельное написание: социально полезные связи.
Можно сказать: вытрясай.
В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень -вяз-. Словообразовательная цепочка: вязать – связать – связь – связист. Вероятно, учительница считает слово связь непроизводным в современном русском языке. Эту точку зрения можно понять: на современном этапе развития языка вывести значение слов связь, связист из корня -вяз- затруднительно. Но всё-таки представляется, что смысловые связи между словами вязать – связать – связь разрушены еще не полностью и выделение корня -вяз- пока еще оправданно.
В существительном скворец корень скворец-, в прилагательном тяжелый корень тяж-.