Как неофициальное название субъекта Российской Федерации - Республика Чечня.
Корректно - без буквенного наращения: в 13 районах.
Верно: в Республике Ингушетия.
В нормативных документах принято: в Республике Бурятия.
Слово республика при употреблении вне полного названия государства пишется со строчной: Недавно нашу республику посетили с официальным визитом...
Слово Беларусь в этом сочетании не склоняется: я живу в Республике Беларусь.
В официальных документах принято не склонять, в публицистике и в разговорной речи употребляются склоняемые варианты.
Как мы и писали ранее, литературная норма предполагает склонение обеих частей наименования: народный поэт Республики Калмыкии, глава Республики Калмыкии.