Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии.
Корректно - без буквенного наращения: в 13 районах.
В нормативных документах принято: в Республике Бурятия.
Верно: в Республике Ингушетия.
Слово республика при употреблении вне полного названия государства пишется со строчной: Недавно нашу республику посетили с официальным визитом...
Слово Беларусь в этом сочетании не склоняется: я живу в Республике Беларусь.
В официальных документах принято не склонять, в публицистике и в разговорной речи употребляются склоняемые варианты.
Названия республик женского рода обычно склоняются в сочетании со словом республика: в Республике Болгарии. Но в официальных текстах нередко можно увидеть несклоняемый вариант.
